DBD ir MBK: didžiausias bendrasis daliklis ir mažiausias bendrasis kartotinis

DBD ir MBK yra dvi sąvokos, kurios mokykloje išmokstamos kartu ir todėl visą gyvenimą painiojamos. Skirtumas paprastas: viena ieško bendro daliklio, kita — bendro kartotinio.

Didžiausias bendrasis daliklis

DBD yra didžiausias skaičius, iš kurio dalijasi visi duotieji skaičiai. Skaičiams 12 ir 18 tai yra 6, nes abu iš jo dalijasi be liekanos.

Paprasčiausias būdas jį rasti mažiems skaičiams — surašyti visus daliklius ir pasirinkti didžiausią bendrą. Didesniems skaičiams to daryti nebeverta.

Mažiausias bendras kartotinis

MBK yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš visų duotųjų. Tiems patiems 12 ir 18 tai yra 36.

Kartotinius galima surašyti eilute ir ieškoti pirmo sutampančio. Tai veikia, bet lėtai, todėl praktikoje naudojami kiti būdai.

Skaidymas pirminiais dauginamaisiais

Taisyklė paprasta: DBD imami bendri dauginamieji su mažiausiu laipsniu, o MBK — visi dauginamieji su didžiausiu laipsniu. Rezultatą galima pasitikrinti DBD ir MBK skaičiuokle.

Euklido algoritmas

Didesniems skaičiams patogesnis Euklido algoritmas. Didesnis skaičius dalijamas iš mažesnio, imama liekana, ir procesas kartojamas, kol liekana tampa nuliu.

Paskutinis nenulinis daliklis ir yra DBD. Šis būdas veikia labai greitai net su labai dideliais skaičiais, todėl jis naudojamas ir kriptografijoje.

Ryšys tarp DBD ir MBK

Dviem skaičiams galioja paprasta taisyklė: DBD padaugintas iš MBK lygus abiejų skaičių sandaugai. Tai reiškia, kad radus vieną, kitas gaunamas dalyba.

Skaičiams 12 ir 18 sandauga yra 216, DBD yra 6, todėl MBK yra 36. Šis patikrinimas užtrunka sekundę ir sugauna beveik visas skaičiavimo klaidas.

Tarpusavyje pirminiai skaičiai

Jei DBD lygus vienetui, skaičiai vadinami tarpusavyje pirminiais. Tai nereiškia, kad jie patys pirminiai: 8 ir 9 nėra pirminiai, bet bendrų daliklių neturi.

Tokiu atveju MBK tiesiog lygus sandaugai. Būtent ši savybė paaiškina, kodėl dviejų ratukų su tarpusavyje pirminiu dantukų skaičiumi derinys kartojasi rečiausiai.

Kur reikia DBD

Klasikinis atvejis — trupmenų prastinimas. Padalijus skaitiklį ir vardiklį iš DBD, trupmena iš karto suprastinama iki galo, be kelių žingsnių.

Antras atvejis — dalijimas į vienodas dalis. Jei reikia 24 obuolius ir 36 kriaušes išdalyti į vienodus rinkinius, didžiausias galimas rinkinių skaičius yra DBD, tai yra 12.

Kur reikia MBK

Pirmiausia — bendram vardikliui sudedant trupmenas. Naudojant MBK skaičiai lieka mažiausi įmanomi, todėl skaičiavimas paprastesnis. Tai daro ir trupmenų skaičiuoklė.

Antras atvejis — pasikartojantys įvykiai. Jei vienas autobusas važiuoja kas 12 minučių, o kitas kas 18, kartu jie atvyks kas 36 minutes.

Uždaviniai apie sutapimus

Bet koks uždavinys su klausimu „kada vėl sutaps“ sprendžiamas per MBK. Tai galioja tvarkaraščiams, pamainoms, priežiūros grafikams ir net planetų padėtims.

Priešingai, klausimai „į kokias didžiausias vienodas dalis galima padalyti“ sprendžiami per DBD. Šis vienas skirtumas leidžia teisingai pasirinkti be jokio įsiminimo.

Plytelės ir sklypai

Praktinis DBD pavyzdys: patalpą 180 × 240 cm reikia išklijuoti vienodomis kvadratinėmis plytelėmis be pjaustymo. Didžiausia tinkama plytelė yra 60 cm, nes tai DBD.

Tas pats principas taikomas dalijant sklypą į vienodus stačiakampius arba pjaustant medžiagą į vienodo ilgio ruošinius be atliekų.

Daugiau nei du skaičiai

Su trimis ir daugiau skaičių veikia tas pats principas. DBD randamas pirmiems dviem, tada rezultatui ir trečiam, ir taip toliau.

Su MBK galima daryti taip pat, tik reikia atidumo: sandaugos auga greitai, todėl geriau skaidyti dauginamaisiais nei dauginti viską iš eilės.

Pirminiai skaičiai

Pirminis skaičius dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Pirmieji yra 2, 3, 5, 7, 11, 13. Dvejetas yra vienintelis lyginis pirminis skaičius.

Kiekvienas sveikasis skaičius skaidomas pirminiais dauginamaisiais vieninteliu būdu. Būtent ši savybė ir daro pirminius skaičius pagrindiniu įrankiu ieškant DBD ir MBK.

Krumpliaračiai ir pasikartojimai

Du sukibę krumpliaračiai su 12 ir 18 dantukų grįš į pradinę padėtį po 36 dantukų, tai yra po MBK. Pirmas apsisuks tris kartus, antras — du.

Jei dantukų skaičiai tarpusavyje pirminiai, pradinė padėtis pasikartos rečiausiai, o dantukų dilimas pasiskirsto tolygiau. Būtent todėl mechanikoje tokie deriniai pasirenkami sąmoningai.

Muzika ir ritmai

Du ritmai, kartojami kas tris ir kas keturias dalis, sutampa kas dvylika. Tai vėl MBK, tik girdimas, o ne skaičiuojamas.

Panašiai veikia ir šviesoforai ar mirksinčios lemputės: jų sutapimo periodas visada yra atskirų periodų mažiausias bendras kartotinis.

Kalendorius ir sutapimai

Savaitė turi 7 dienas, mėnuo apytiksliai 30, todėl tos pačios savaitės dienos ir mėnesio dienos derinys kartojasi retai. Tai vėl MBK, tik su nelygiais periodais.

Todėl trylikta diena, sutampanti su penktadieniu, pasitaiko kelis kartus per metus, bet nereguliariai. Ritmas atsiranda iš dviejų nesuderinamų ciklų.

Panašiai skaičiuojami ir keliamieji metai: sistema sudėliota taip, kad ilgainiui kalendorius sutaptų su realiu metų ilgiu.

Kaip greitai patikrinti dalumą

• Iš 2 — jei paskutinis skaitmuo lyginis.

• Iš 3 — jei skaitmenų suma dalijasi iš trijų.

• Iš 4 — jei du paskutiniai skaitmenys sudaro skaičių, kuris dalijasi iš keturių.

• Iš 5 — jei baigiasi nuliu arba penketu.

• Iš 9 — jei skaitmenų suma dalijasi iš devynių.

• Iš 6 — jei skaičius dalijasi ir iš dviejų, ir iš trijų.

• Iš 10 — jei baigiasi nuliu.

Pakuotės ir kiekiai

Buitinis MBK pavyzdys: dešrelės parduodamos po 10, o bandelės po 8. Norint, kad nieko neliktų, reikia pirkti 40 vienetų, tai yra keturias ir penkias pakuotes.

Tas pats principas veikia planuojant medžiagas: jei plytelės dedamos po vieną kiekį, o klijai maišomi kitokiu, sutapimo taškas randamas per MBK.

Kodėl dalumo požymiai veikia

Požymiai kyla iš to, kaip skaičius užrašomas dešimtainėje sistemoje. Kiekviena pozicija yra dešimties laipsnis, o dešimtis dalijasi iš dviejų ir penkių.

Būtent todėl dalumo iš dviejų ir penkių požymiai žiūri į paskutinius skaitmenis, o dalumo iš trijų ir devynių — į skaitmenų sumą. Kitoje skaičiavimo sistemoje požymiai būtų kitokie.

Trupmenų prastinimas praktikoje

Trupmena 84/126 atrodo nepatogi, kol nerandamas jos DBD. Jis lygus 42, todėl trupmena iš karto suprastėja iki 2/3.

Be DBD tektų prastinti keliais žingsniais — iš dviejų, tada iš trijų, tada iš septynių. Rezultatas tas pats, tik kelias ilgesnis ir su daugiau progų suklysti.

Kur klystama

Dažniausia klaida — sumaišyti, kuris rodiklis reikalingas. Padeda paprastas patikrinimas: DBD visada mažesnis arba lygus mažiausiam skaičiui, o MBK visada didesnis arba lygus didžiausiam.

Antra dažna klaida — sustoti neradus didžiausio bendro daliklio. Suprastinta trupmena 6/9 iki 2/3 yra teisinga, o iki 3/4,5 — jau ne, nes vardiklis nustoja būti sveikasis.

Jei gautas rezultatas šios taisyklės neatitinka, atsakymas neteisingas dar prieš tikrinant skaičiavimus. Tai greičiausias būdas pagauti klaidą.