Vidurkis, mediana ir moda: kada kuris meluoja

Kai sakoma „vidutiniškai“, dažniausiai turimas omenyje aritmetinis vidurkis. Bet vidurkis yra tik vienas iš trijų būdų aprašyti tipinę reikšmę, ir kartais jis yra pats blogiausias iš jų.

Aritmetinis vidurkis

Vidurkis skaičiuojamas paprastai: visi skaičiai sudedami ir dalijami iš jų kiekio. Penkių pažymių 7, 8, 9, 6 ir 10 suma yra 40, o vidurkis — 8.

Tai patogiausias ir dažniausiai naudojamas rodiklis. Jo stiprybė ta, kad jis įvertina kiekvieną reikšmę, o silpnybė — kad jis įvertina ir tas, kurios yra visiškai netipinės.

Mediana

Mediana yra vidurinė reikšmė, kai visi skaičiai išrikiuojami iš eilės. Jei skaičių kiekis lyginis, imamas dviejų vidurinių vidurkis.

Medianos savybė — ji nejautri kraštutinėms reikšmėms. Vienas milijonierius grupėje pakels vidurkį, bet medianos beveik nepajudins, nes ji žiūri tik į vidurį.

Moda

Moda yra dažniausiai pasitaikanti reikšmė. Jei parduotuvėje daugiausia parduodama 42 dydžio batų, moda yra 42, nesvarbu, koks yra vidurkis.

Moda naudingiausia ten, kur skaičiai nėra tolygūs: dydžiai, spalvos, atsakymų variantai. Ji atsako į klausimą „kas pasitaiko dažniausiai“, o ne „kiek vidutiniškai“.

Klasikinis pavyzdys su atlyginimais

Šioje įmonėje vidurkis yra 2 310 eurų, o mediana — 1 200. Vidurkis techniškai teisingas, bet nė vienas darbuotojas tokios sumos negauna. Būtent todėl atlyginimų statistikoje dažniau naudojama mediana.

Kada kuris rodiklis tinka

• Vidurkis — kai reikšmės pasiskirsčiusios tolygiai, be didelių išsišokimų.

• Mediana — kai yra labai didelių arba labai mažų reikšmių: pajamos, būstų kainos.

• Moda — kai duomenys nėra skaičiai arba svarbu dažniausias variantas.

Praktikoje verta pasižiūrėti bent du iš trijų. Jei vidurkis ir mediana panašūs, duomenys tolygūs. Jei jie labai skiriasi, kažkur yra reikšmių, kurios tempia vidurkį.

Svertinis vidurkis

Ne visi skaičiai vienodai svarbūs. Jei egzaminas sudaro 60 %, o metinis pažymys 40 %, paprastas vidurkis duos neteisingą rezultatą, nes jis abu vertina vienodai.

Svertinis vidurkis kiekvieną reikšmę padaugina iš jos svorio, sudeda ir padalija iš svorių sumos. Suskaičiuoti padeda svertinio vidurkio skaičiuoklė.

Kur svertinis vidurkis naudojamas

Stojant į universitetą konkursinis balas skaičiuojamas būtent taip: kiekvienas dalykas turi savo svorį, o galutinis rezultatas yra jų svertinė suma. Todėl vieno dalyko pagerinimas gali duoti daugiau nei kito.

Savo atvejį galima modeliuoti konkursinio balo skaičiuokle, o konkrečius kiekvienos programos svorius reikia žiūrėti tų metų priėmimo taisyklėse.

Vidurkių vidurkis nėra vidurkis

Jei vienoje klasėje 10 mokinių vidurkis 8, o kitoje 30 mokinių vidurkis 6, bendras vidurkis nėra 7. Reikia skaičiuoti pagal mokinių skaičių, ir gaunama 6,5.

Ši klaida labai dažna ataskaitose, kur sudedami skirtingo dydžio grupių vidurkiai. Taisyklė paprasta: vidurkius galima vidurkinti tik tada, kai grupės vienodo dydžio.

Sklaida: skaičius, kurio dažnai trūksta

Du duomenų rinkiniai gali turėti tą patį vidurkį, bet visiškai skirtingą pobūdį. Pažymiai 8, 8, 8 ir pažymiai 5, 8, 11 duoda tą patį vidurkį 8, tačiau pasakoja skirtingas istorijas.

Todėl šalia vidurkio prasminga žiūrėti bent didžiausią ir mažiausią reikšmę. Tai paprasčiausias būdas suprasti, ar vidurkis apskritai ką nors reiškia.

Kaip vidurkis naudojamas kasdien

Degalų sąnaudos, mėnesio išlaidos, kelionės greitis, mokyklos pažymiai — visur skaičiuojamas vidurkis. Daugumoje šių atvejų jis tinka, nes reikšmės nesiskiria dešimtimis kartų.

Kai reikia greito rezultato, tinka vidurkio skaičiuoklė, kuri iš karto parodo ir vidurkį, ir kitus pagrindinius rodiklius.

Vidutinis greitis: klasikinė spąstų vieta

Jei pusę kelio važiuota 100 km/h, o kitą pusę 50 km/h, vidutinis greitis nėra 75 km/h. Jis skaičiuojamas per bendrą atstumą ir bendrą laiką, todėl gaunama apie 67 km/h.

Priežastis ta, kad lėčiau važiuota ilgesnį laiką. Vidurkis pagal atstumą ir vidurkis pagal laiką yra skirtingi dalykai, ir tai vienas iš dažniausių praktinių nesusipratimų.

Ką daryti su išsišokusiomis reikšmėmis

Kai duomenyse yra viena reikšmė, kuri akivaizdžiai iškrenta, pirmiausia verta paklausti, ar ji tikra. Kartais tai klaida įvedant, kartais — reali, bet netipinė situacija.

Jei reikšmė tikra, jos šalinti negalima. Tada geriau šalia vidurkio pateikti medianą ir paaiškinti skirtumą, o ne slėpti duomenis, kurie netelpa į patogų vaizdą.

Vidurkis mokykloje

Metinis pažymys dažnai skaičiuojamas ne kaip paprastas vidurkis: kontrolinis sveria daugiau nei namų darbai. Todėl vienas prastas kontrolinis nusveria kelis gerus smulkius įvertinimus.

Praktinė išvada mokiniui paprasta — verta žinoti svorius iš anksto. Tada aišku, kur pastangos duos daugiausia, o kur pataisymas beveik nieko nepakeis.

Kaip skaityti statistiką naujienose

Kai antraštėje rašoma apie vidutinę kainą ar vidutinį atlyginimą, verta iš karto paklausti, ar tai vidurkis, ar mediana. Skirtumas dažnai siekia dešimtis procentų.

Antras klausimas — kokia imtis. Vidurkis iš dešimties atsakymų ir vidurkis iš dešimties tūkstančių yra visiškai skirtingo patikimumo skaičiai, nors abu vadinami vienodai.

Geometrinis vidurkis

Kai skaičiuojami augimo tempai, aritmetinis vidurkis netinka. Jei vienais metais investicija augo 50 %, o kitais krito 50 %, aritmetinis vidurkis rodys nulį, nors realiai prarasta ketvirtadalis.

Tokiems atvejams naudojamas geometrinis vidurkis, kuris sudaugina koeficientus ir traukia šaknį. Praktikoje tai paaiškina, kodėl fondų reklamose nurodyta „vidutinė grąža“ ne visada atitinka realų rezultatą.

Vidurkis laike

Mėnesio išlaidų vidurkis skaičiuojamas kitaip nei dienos. Jei dalis išlaidų atsiranda kartą per metus — draudimas, technikos apžiūra, mokesčiai — jos turi būti išdalytos per dvylika mėnesių.

Priešingu atveju gaunama iškreipta biudžeto nuotrauka: vienuolika ramių mėnesių ir vienas, kuriame viskas subyra. Tai ne išlaidų problema, o skaičiavimo būdo problema.

Kiek duomenų reikia

Vidurkis iš trijų reikšmių yra beveik atsitiktinis skaičius. Kuo daugiau duomenų, tuo jis stabilesnis, ir tai galioja visur — nuo degalų sąnaudų iki mokyklos pažymių.

Tas pats galioja ir apklausoms: dešimties žmonių nuomonė nėra statistika, o tik dešimties žmonių nuomonė, net jei rezultatas pateikiamas procentais.

Praktinė taisyklė kasdieniams skaičiavimams: bent penkios ar šešios reikšmės. Mažiau reiškia, kad vienas netipinis atvejis nulemia visą rezultatą.

Vidurkis ir apvalinimas

Vidurkis beveik niekada nebūna apvalus skaičius, ir kyla klausimas, kiek skaitmenų palikti. Bendra taisyklė — ne daugiau tikslumo, nei turėjo pradiniai duomenys.

Jei pažymiai buvo sveikieji skaičiai, vidurkis 7,8333 yra apgaulingas tikslumas. Pakanka 7,8, o trys skaitmenys po kablelio tik sukuria įspūdį, kad skaičiuota tiksliau nei iš tikrųjų.

Trumpa santrauka

Vidurkis atsako, kiek tektų kiekvienam padalijus po lygiai. Mediana atsako, kur yra vidurys. Moda atsako, kas pasitaiko dažniausiai.

Ketvirtas klausimas, kurio dažnai trūksta — kiek reikšmės išsibarsčiusios. Be jo net teisingas vidurkis lieka tik pusė atsakymo.

Trys skirtingi klausimai ir trys skirtingi atsakymai. Painiava prasideda tada, kai vienas skaičius pateikiamas kaip atsakymas į visus tris.